Pour autant, la conformité des travaux de Cayley sur le concept de groupe avec les pratiques algébriques du milieu scientifique dans lequel il évoluait n’a pas suffi à assurer leur succès : ses articles sur les groupes n’ont eu que peu d’écho dans les années 1850-60, y compris dans les milieux mathématiques britanniques. \end{array} \right) Or, paradoxalement, elle n’a connu au départ qu’une diffusion très confidentielle.
Au figuré : il a récité sa tirade d'un seul trait . \quad Cependant, si on s’en tient exclusivement à la démarche de Galois telle qu’elle est présentée dans son mémoire (et non les développements que d’autres mathématiciens lui ont apporté ultérieurement), ceci ne nous dit pas quelles sont les solutions, ni comment faire pour les calculer. \]Puis le groupe de l’équation considérée pourrait être formé, par exemple, de :\[ Ceci revient à regarder toutes les listes possibles formées à partir des racines $x_1$, $x_2$, $x_3$, …, $x_n$, où $n$ désigne le degré de l’équation, selon un procédé similaire à celui que nous avons vu dans le cas des jetons numérotés Reprenons l’exemple que nous avons vu en introduction pour fixer les idées, en notant $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les trois racines d’une équation de degré $3$. De ce point de vue, la discipline était suffisamment « balisée ». \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} C \mbox{ devient } A
x_1 & x_2 & x_3 « La très grande généralité de cette conception, fruit du génie de Galois dans la première moitié du XIXe siècle, lui permet d’intervenir dans les chapitres les plus variés des mathématiques, d’en relier l’existence et le mécanisme à la structure de l’esprit humain, et peut-être même à l’architecture de l’univers ».La diversité des trois approches que nous avons analysées ici montre que la notion de groupe n’est « pré-inscrite » ni dans le cerveau humain ni dans l’univers.
Comme le laisse soupçonner cet exemple, le concept de groupe permet aujourd’hui aux mathématiciens de rendre compte d’un grand nombre de situations diverses en raisonnant, en fait, sur un même modèle. x_2 & x_1 & x_3 Il faut noter, en outre, que l’exemple que nous présentons ici en guise d’aperçu est en fait assez éloigné de ce que l’on trouve Or, il est également important de remarquer que le point de vue adopté par Galois venait heurter ce que l’on considérait, en 1830, comme la « bonne façon » de poser et de résoudre le problème des équations. \end{array} \right) \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
\quad Cependant, aucun de ces calculs n’a été conservé lors de la rédaction définitive [l’édition Azra-Bourgne 1962 est-elle votre source, ou avez-vous accédé à d’autres manuscrits ?]. \end{array} \right) lemme des bergers ensemble infini nombre de bell ensemble fini . \left( \begin{array}{ccc} » Néanmoins, si l’on examine plus précisément ce que Dedekind « fait » exactement avec ce concept de groupe, on s’aperçoit que la signification qu’il lui construit est en fait très différente de celles de Galois et de Cayley. On obtient ainsi six substitutions, représentées par les six blocs ci-dessous :\[ 3&1&2 \quad Il est important de remarquer ici que, quelle que soit la notation utilisée, les configurations que Cayley met en évidence sont indépendantes de la nature des éléments du groupe : cela pourrait fonctionner aussi bien avec des nombres qu’avec des opérations ou des fonctions. Elle a été forgée, à partir de 1830, dans des contextes sociaux et culturels divers, où il y avait à la fois des façons spécifiques de En mathématiques, certains symboles sont fréquemment utilisés. ], ni à se placer au plus grand degré de généralité possible. \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_3 & x_2 Néanmoins, cette théorie n’est pas « la » théorie des groupes au sens où nous l’entendrions aujourd’hui (ou, du moins, au sens où elle est actuellement présentée dans les manuels) : l’objectif de Cayley n’est pas d’étudier les propriétés abstraites que l’on peut déduire de la définition des groupes Cayley est le premier à avoir proposé un point de vue théorique sur la notion de groupe que Galois avait mise en place. \left( \begin{array}{ccc} x_3 & x_2 & x_1 x_2 & x_3 & x_1 \left( \begin{array}{c} Par exemple, l’ensemble des entiers relatifs avec l’addition comme opération est un groupe, car il vérifie les quatre règles qui définissent un groupe : Prenons quelques exemples. Dans l’exemple précédent, la seule façon possible de « redécouper » est de prendre un groupe qui ne contient plus qu’un élément (l’élément neutre, donc ici le premier bloc). \quad d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a
géométrie euclidienne ensemble de définition théorie des ensembles variable aléatoire . B \mbox{ devient } B \\ \quad Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0. (Le laser d'alignement peut le remplacer.) x_1 & x_2 & x_3 \\